Question

如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.

（1）求線段BG的長；

解：

 

（2）求證：DG平分∠EDF;

證：

（3）連接CG，如圖2，若△BDG與△DFG相似，求證：BG⊥CG.

證：

Answer 1

解析：已知三角形三邊中點(diǎn)連線，利用三角形中位線性質(zhì)計(jì)算證明.（1）已知△ABC的邊長，由三角形中位線性質(zhì)知，根據(jù)△BDG與四邊形ACDG周長相等，可得.（2）由（1）的結(jié)論，利用等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)可證. （3）利用兩個(gè)三角形相似，對應(yīng)角相等，從而等角對等邊，BD=DG=CD，即可證明.

解（1）∵D、C、F分別是△ABC三邊中點(diǎn)

∴DE∥AB,DF∥AC，

又∵△BDG與四邊形ACDG周長相等

即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG

∴BG=AC+AG

∵BG=AB－AG

∴BG==

（2）證明：BG=，F(xiàn)G=BG－BF=－

∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD

又∵DE∥AB

∴∠EDG=∠FGD

∠FDG=∠EDG

∴DG平分∠EDF    

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,

∵△BDG與△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,

∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,

則CD= BD=DG,∴B、CG、三點(diǎn)共圓,

∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG

點(diǎn)評：這是一道幾何綜合題，在計(jì)算證明時(shí)，根據(jù)題中已知條件，結(jié)合圖形性質(zhì)來完成.后面的問題可以結(jié)合前面問題來做.