Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的內切圓分別與邊BC、CA、AB相切于點D、E、F，連接AD與內切圓相交于另一點P，連接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．
求證：（1）△PFD∽△PDC；（2）=．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明三角形相似只要知道兩個角相等即可，根據(jù)弦切角定理很容易的出∠PFD=∠PDC，由角度關系可以知道∠FPD=DPC，即可證明．
（2）要證=，由（1）知道，只要證明，根據(jù)AE、AF與圓相切，可以求得．
解答：解：（1）∵BC與圓相切，
∴∠PFD=∠PDC．
∵BF、BD分別于圓相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
∴△PFD∽△PDC．

（2）∵AE、AF與圓相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，
∴、且AE=AF，
∴．
∵△PFD∽△PDC，
∴．
∴=．
點評：本題主要考查三角形相切的性質，結合角度關系來求．注意線段之間的轉化，方便求解．