Question

如圖，拋物線y=ax²-x-2（a≠0）的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交點于點C，已知B點坐標為（4，0）

（1）求拋物線的解析式

（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標

（3）若點M是線段BC下方拋物線上一點，求△MBC的面積最大值，并求出此時點M的坐標。

Answer 1

解：（1）將點B（4，0）代入y=ax²-x-2中，得：16a-×4-2=0，∴a=

y= x²-x-2………………3分

（2）令y=0，則x²-x-2=0，解得x₁=4，x₂=-1，∴A（-1，0），∴OA=1，OC=2，OB=4，∴，又∠AOC=∠COB=90°，∴Rt△AOC∽Rt△COB，…………5分

∴∠ACO=∠CBO，∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形，易知△ABC的外接圓的圓心為AB的中點，圓心的坐標為（1。5，0）…8分

（3）連結OM，設點M（x，y），易知x＞0，y＜0，則S_△MBC=S_OCMB-S_△OCB=×2×│x│+×4×│y│-×2×4=x-2y-4，S_△MBC=x-2（x²-x-2）-4=-x²+4x+4，當x=2時S_△MBC有最大值，此時點M的坐標為（2，-3）