Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA和OB的長(zhǎng)分別是方程x²-7x+12=0的兩根（OA＜OB），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O開(kāi)始在線段OB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）t為何值時(shí)，△POQ為等腰三角形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△POQ與△AOB相似，并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）解一元二次方程x²-7x+12=0，求出OA、OB的長(zhǎng)度，從而得到A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)OP=OQ，列出方程3-t=2t，求出t的值即可；
（3）分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA兩種情況進(jìn)行討論，可根據(jù)各自得出的對(duì)應(yīng)線段成比例列出方程，求出t的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-7x+12=0，得x₁=3，x₂=4，
∵OA＜OB，
∴OA=3，OB=4．
∴A（0，3），B（4，0）；

（2）∵∠POQ=90°，
∴當(dāng)OP=OQ時(shí)，△POQ為等腰三角形，
∴3-t=2t，解得t=1．
即t為1秒時(shí)，△POQ為等腰三角形；

（3）∵∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ與△AOB相似，可能有兩種情況：
①若△POQ∽△AOB時(shí)，

OP

OA

=

OQ

OB

，即

3-t

3

=

2t

4

，
∴12-4t=6t，
解得：t=

6

5

，
∴OP=3-t=

9

5

，OQ=2t=

12

5

，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

9

5

），Q的坐標(biāo)為（

12

5

，0）；
②若△POQ∽△BOA時(shí)，

OP

OB

=

OQ

OA

，即

3-t

4

=

2t

3

，
∴9-3t=8t，
解得：t=

9

11

，
∴OP=3-t=

24

11

，OQ=2t=

18

11

，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

24

11

），Q的坐標(biāo)為（

18

11

，0）；
綜上可知，當(dāng)t=

6

5

或t=

9

11

時(shí)，△POQ與△AOB相似，此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（0，

9

5

）、（

12

5

，0）或（0，

24

11

）、（

18

11

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．要注意第（3）小題要根據(jù)不同的相似三角形分類(lèi)進(jìn)行討論．