Question

如圖四邊形ABCD中，AD=DC．∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DF⊥AC，垂足為F．DF與AB相交于E．設(shè)AB=15，BC=9，P是射線DF上的動點．當(dāng)△BCP的周長最小時，DP的長為（　�。�

• A、12
• B、12.5
• C、13
• D、13.5

Answer 1

分析：先根據(jù)△ABC是直角三角形可求出AC的長，再根據(jù)AD=DC，DF⊥AC可求出AF=CF=

1

2

AC，故點C關(guān)于DE的對稱點是A，故E點與P點重合時△BCP的周長最小，再根據(jù)DE⊥AC，BC⊥AC可知，DE∥BC，由相似三角形的判定定理可知△AEF∽△ABC，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出AE的長，同理，利用△AED∽△CBA即可求出DE的長．

解答：解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC=

AB2-BC2

=

152-92

=12，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=

1

2

AC=6，
∴點C關(guān)于DE的對稱點是A，故E點與P點重合時△BCP的周長最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AF

AC

=

AE

AB

，即

6

12

=

AE

15

，解得AE=

15

2

，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴

AE

BC

=

DE

AB

，即

15 2

9

=

DE

15

，解得DE=

25

2

=12.5，即DP=12.5．
故選B．

點評：本題考查的是軸對稱-最短線路問題及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出DE=DP是解答此題的關(guān)鍵．