Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為___________；

（2）連結(jié)，求的正切值；

（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線，在拋物線上是否存在點(diǎn)（、不重合），使與全等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的坐標(biāo)為或或

【解析】

（1）根據(jù)題意即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系即可求出結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)作于，先求出OB和CD，再利用勾股定理求出BC和BD，然后根據(jù)三角形面積的兩種求法即可求出DM，再利用勾股定理求出BM，即可求出結(jié)論．

（3）根據(jù)對(duì)稱軸公式即可求出二次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)情況分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、平行四邊形的判定及性質(zhì)即可求出結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1,0）

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

故答案為：．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，

由題易得，，，，

又，則，

在中，由勾股定理得，

∴．

（3）由題可得，

解得，

則拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，

①如圖，當(dāng)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)不與點(diǎn)重合，則點(diǎn)只能在的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)作軸于，

由全等的性質(zhì)可知，，

∵，且，

∴，

又，

∴．

又，，

∴，

∴，，

∴，此時(shí)點(diǎn)在拋物線上，且符合題意；

②如圖，當(dāng)，且點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，

易得四邊形是平行四邊形，則，

此時(shí)點(diǎn)在拋物線上，且符合題意；

③如圖，當(dāng)，且點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，記此時(shí)的點(diǎn)為，

則與①中的組成平行四邊形，

易得，此時(shí)點(diǎn)在拋物線上，且符合題意；

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．