Question

（2012•牡丹江）如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-4）和（-2，5），請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求拋物線的解析式；
（2）若與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，與y軸交于點(diǎn)C．在該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得△ABC與△ABD全等？若存在，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
注：拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸是x=-

b

2a

．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-4）和（-2，5），利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先由拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸是x=-

b

2a

，即可求得此拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，點(diǎn)C關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)D即為所求，利用SSS即可判定△ABC≌△BAD，又由拋物線的與y軸交于點(diǎn)C，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由對(duì)稱性可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-4）和（-2，5），
∴

1+b+c=-4 4-2b+c=5

，
解得：

b=-2 c=-3

．
故拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）存在．
∵拋物線y=x²-2x-3的對(duì)稱軸為：x=-

-2

2×1

=1，
∴根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，點(diǎn)C關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)D即為所求，
此時(shí)，AC=BD，BC=AD，
在△ABC和△BAD中，
∵

AB=BA AC=BD BC=AD

，
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
在y=x²-2x-3中，令x=0，
得y=-3，
則C（0，-3），D（2，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定與二次函數(shù)的對(duì)稱性．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．