Question

（1）如圖1，BO、CO分別是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分線，則∠BOC與∠A的關(guān)系是

90°+

1

2

∠A

（直接寫出結(jié)論）；
（2）如圖2，BO、CO分別是△ABC兩個(gè)外角∠CBD和∠BCE的平分線，則∠BOC與∠A的關(guān)系是

90°-

1

2

∠A

，請證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，BO、CO分別是△ABC一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線，則∠BOC與∠A的關(guān)系是

1

2

∠A

，請證明你的結(jié)論．
（4）利用以上結(jié)論完成以下問題：如圖4，已知：∠DOF=90°，點(diǎn)A、B分別是射線OF、OD上的動(dòng)點(diǎn)，△ABO的外角∠OBE的平分線與內(nèi)角∠OAB的平分線相交于點(diǎn)P，猜想∠P的大小是否變化？請證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)BO、CO分別平分∠ABC與∠ACB求出∠1+∠2的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOC的度數(shù)；
（2）由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可證2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證2∠BOC=180°-∠A，即
∠BOC=90°-

1

2

∠A；
（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（4）利用（3）中的解題思路證得∠P的大小不會(huì)變化始終為45°．

解答：解：（1）∠BOC=90°+

1

2

∠A．理由如下：
如圖1，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+

1

2

∠A；
故答案是：90°+

1

2

∠A；

（2）∠BOC=90°-

1

2

∠A．
證明：如圖2，∵BD平分∠DBC，
∴∠OBC=

1

2

∠DBC．
同理可證：∠OCB=

1

2

∠BCE．
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠DBC+∠BCE），
∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）=

1

2

（180°+∠A）=90°+

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-

1

2

∠A；
故答案是：90°-

1

2

∠A；

（3）∠BOC=

1

2

∠A；
證明：∵CO平分∠ACD    BO平分∠ABC
∴∠OCD=

1

2

∠ACD∠OBC=

1

2

∠ABC
∵∠OCD是△OBC的外角
∴∠BOC=∠OCD-∠OBC
=

1

2

（∠ACD-∠ABC）
∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD-∠ABC=∠A
∴∠BOC=

1

2

∠A；
故答案是：

1

2

∠A；

（4）∠P的大小沒有變化．
根據(jù)（3）可得：∠P=

1

2

∠AOB
∵∠AOB=90°
∴∠P=45°
∴∠P的大小不會(huì)變化始終為45°．

點(diǎn)評：本題考查三角形外角的性質(zhì)、角平分線線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．