Question

如圖，點(diǎn)A在射線OP上，OA等于2cm．我們定義如下兩種操作
操作一：30°旋轉(zhuǎn)操作，記為X：
OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°到OB，那么點(diǎn)B的位置可以用（2，30°）表示；OB繞點(diǎn)O再按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30°到OC，那么點(diǎn)C的位置可以用（2，60°）表示．
操作二：線段加倍操作，記為Y：
如圖，如果延長(zhǎng)OA到點(diǎn)A′，使OA′=2OA，那么點(diǎn)A′的位置可以用（4，0°）表示；如果延長(zhǎng)OB到點(diǎn)B′，使OB′=2OB，那么點(diǎn)B′的位置可以用（4，30°）表示．
（1）現(xiàn)操作如下：
第一次對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行X操作，得到第一個(gè)點(diǎn)A₁，其位置可以表示為（______，______°）；
第二次對(duì)點(diǎn)A₁進(jìn)行Y操作，得到第二個(gè)點(diǎn)A₂，其位置可以表示為（______，______°）；
第三次對(duì)點(diǎn)A₂進(jìn)行X操作，得到第三個(gè)點(diǎn)A₃，其位置可以表示為（______，______°）；
第四次對(duì)點(diǎn)A₃進(jìn)行Y操作，得到第四個(gè)點(diǎn)A₄，其位置可以表示為（______，______°）；
…，如此依次進(jìn)行操作X、Y、X、Y、…，可得到若干點(diǎn)；
（2）按如上操作，若經(jīng)過(guò)t次操作后得到點(diǎn)A₂₀₀₈，其位置表示為（p，q°），則t、p、q的值分別為多少？
（3）若經(jīng)過(guò)若干次操作后得到第i個(gè)點(diǎn)A_i，其位置表示為（m，n°），試用字母i的代數(shù)式表示m、n．

Answer 1

解：（1）A₁（2，30°），A₂（4，30°），A₃（4，60°），A₄（8，60°）
每個(gè)括號(hào)兩個(gè)都填對(duì)，給，共；

（2）t=2008，p=2¹⁰⁰⁵，q=30×1004=30120．
答對(duì)一問(wèn)給，共；

（3）當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，，，
當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，，n=15i．
代數(shù)式可以不化簡(jiǎn)，每種情況答對(duì)給，共．
分析：（1）進(jìn)行X操作，30°旋轉(zhuǎn)操作，進(jìn)行Y操作，線段加倍，可得答案；
（2）觀察可得到點(diǎn)A₂₀₀₈，需進(jìn)行2008次操作，那么t=2008，偶數(shù)次操作是線段長(zhǎng)度變化的開(kāi)始為2¹⁰⁰⁵，進(jìn)而可得答案；
（3）結(jié)合（2）得到規(guī)律，對(duì)i分為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分析可得答案．
點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是理解操作的要點(diǎn)，難點(diǎn)是得到相應(yīng)的規(guī)律．