Question

（2013•沁陽(yáng)市一模）以原點(diǎn)為圓心，1cm為半徑的圓分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）如圖1，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)一周，設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t=1時(shí)，直線PQ恰好與⊙O第一次相切，連接OQ．求此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度（結(jié)果保留）；
（2）若點(diǎn)Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，
①當(dāng)t為何值時(shí)，以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形；
②在①的條件下，如果直線PQ與⊙O相交，請(qǐng)求出直線PQ被⊙O所截的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OQ，求出∠QPO，求出∠BOQ，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可；
（2）分為四種情況，畫(huà)出圖形，求出弧長(zhǎng)，即可求出答案；
（3）作OM⊥PQ，根據(jù)面積公式即可求出答案．

解答：解：（1）如圖1，連接OQ，則OQ⊥PQ．
∵OQ=OA=1，OP=2，
∴∠QPO=30°，
∵∠PQO=90°，
∴∠QOP=60°，
∴∠BOQ=30°，
∴弧BQ的長(zhǎng)是

30π×1

180

=

1

6

π，
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=1，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為

1

6

π；

（2）分為四種情況：①由（1）可知，當(dāng)t=1時(shí)，△OPQ為直角三角形；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q₁關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，
△OPQ₁為直角三角形，此時(shí)∠BOQ₁=150°，
弧BQ₁=

5

6

π，T=5；
③當(dāng)點(diǎn)Q₂（0，-1）或Q₃（0，1）時(shí)，∠POQ₂=∠POQ₃=90°，此時(shí)t=6或t=12
即當(dāng)t=1，t=5，t=6或t=12時(shí)，△OPQ為直角三角形；

（3）如圖3，當(dāng)t=6或t=12時(shí)，直線PQ與⊙O相交，設(shè)交點(diǎn)為N，
作OM⊥PQ，根據(jù)等面積法可知：PQ•OM=OQ•OP，
PQ=

OP2+OQ2

=

5

，OM=

2 5

5

，
QM=

OQ2-OM2

=

5

5

，
弦長(zhǎng)QN=2QM=

2 5

5

CM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，三角形面積公式，切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，用了分類(lèi)討論思想．