Question

如圖，平行四邊形ABCD中，點E是AD的中點，連接BE并延長交CD的延長線于點F．
（1）求證：△ABE≌△DFE；
（2）連接CE，當CE平分∠BCD時，求證：ED=FD．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，即可得內錯角相等；又由點E是AD的中點，易證得△ABE≌△DFE（SAS）；
（2）△ABE≌△DFE與CE平分∠BCD可證得CF=2CD，BC=2CD，進而證明DE=CD，因為CD=DF，所以DE=DF．

解答：（1）證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠FDE，
又∵點E是AD的中點，
∴AE=DE．
在△ABE與△DFE中，
∵∠BAD=∠FDE，AE=DE，∠BEA=∠FED，
∴△ABE≌△DFE．
（2）
證明：∵△ABE≌△DFE，
∴DF=AB，
又∵CD=AB，
∴CF=2CD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE．
又∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠FCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∵CD=DF，
∴DE=DF．

點評：本題考查了平行四邊形的性質、角平分線的定義等知識．此題綜合性比較強，屬于中等難度的題目．解題的關鍵是注意特殊圖形性質的應用．