Question

如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△AOM的面積為1，點(diǎn)B（-1，t）為反比例函數(shù)在第三象限圖象上的點(diǎn)．
（1）試求出k及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使AB=AP，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在y軸上找一點(diǎn)P，使|PA-PB|的值最大，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵△AOM的面積為1，
∴k=1，解得k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=，
把B（-1，t）代入y=得-t=2，解得t=-2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）；

（2）存在．
解方程組得或，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∴AB==3，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
∴AP=，
∵AB=AP，
∴=3，解得a₁=2+，a₂=2-，
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+，0），（2-，0）；

（3）作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C，如圖，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
∴PB=PC，
∴|PA-PB|=|PA-PC|≤AC，
∴當(dāng)點(diǎn)P、C、A共線時(shí)，|PA-PB|的值最大，
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（2，1）、C（1，-2）代入得，解得，
∴直線AC的解析式為y=3x-5，
把x=0代入y=3x-5得y=-5，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5）．
分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到k=1，解得k=2，則反比例函數(shù)的解析式為y=，然后把B（-1，t）代入y=即可確定B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先解方程組可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到=3，然后解方程求出a，確定P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C，如圖，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），PB=PC，根據(jù)三三角形三邊的關(guān)系得到|PA-PB|=|PA-PC|≤AC（當(dāng)點(diǎn)P、C、A共線時(shí)，取等號），所以，PA-PB|的值為AC，然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再確定該直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；熟練運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長．