(2012•天水)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,已知直徑AD=6,∠ABC=120°,∠ACB=45°,連接OB交AC于點(diǎn)E.
(1)求AC的長(zhǎng).
(2)求CE:EA的值.
(3)在CB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P,使CB=
12
BP,求證:直線PA與⊙O相切.
分析:(1)利用圓周角定理和“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”的性質(zhì)推知△ACD是直角三角形,且∠D=60°,所以通過(guò)解該直角三角形來(lái)求AC的長(zhǎng)度即可;
(2)利用圓周角定理推知∠AOB=90°.所以在Rt△AOB中求得EA=2
3
.結(jié)合(1)中AC=3
3
即可求得CE的值;
(3)欲證直線PA與⊙O相切,只需證明AD⊥AP即可.
解答:解:(1)∵∠ABC=120°,∴∠D=60°.
∵AD是⊙O的直徑,∴∠ACD=90°.
∵AD=6,∴AC=AD•sin60°=6×
3
2
=3
3


(2)∵∠ACB=45°,∴∠AOB=2∠ACB=90°.
∴EA=
OA
cos30°
=2
3
.∴CE=AC-AE=
3

∴CE:EA=
3
:2
3
=1:2.

(3)證明:∵
CB
BP
=
1
2
CE
EA
=
1
2
,
CB
BP
=
CE
EA

∴BE∥AP.
∵∠AOB=90°,
∴PA⊥OA.
∴直線PA與⊙O相切.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了圓周角定理,切線的判定與性質(zhì)以及解直角三角形.要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
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3
2
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(2)在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使得△DCA的面積最大?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)過(guò)E點(diǎn)作AD的垂線EP交AC于點(diǎn)P,求證:2AE2=AC•AP;
(3)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長(zhǎng).

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