Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O直徑，E是CB延長線上一點，且∠BAE=∠C．
（1）求證：直線AE是⊙O的切線；
（2）若EB=AB，cosE=，AE=24，求EB的長及⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接BD．
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°．
∴∠1+∠D=90°．
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE．
∴∠1+∠BAE=90°．
即∠DAE=90°．
∵AD是⊙O的直徑，
∴直線AE是⊙O的切線．

（2）解：過點B作BF⊥AE于點F，則∠BFE=90°．
∵EB=AB，
∴∠E=∠BAE，EF=AE=×24=12．
∵∠BFE=90°，，
∴=15．
∴AB=15．
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE，
∴∠D=∠E．
∵∠ABD=90°，
∴．
設BD=4k，則AD=5k．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理得：
AB==3k，可求得k=5．
∴AD=25．
∴⊙O的半徑為．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理以及直徑所對圓周角得出∠1+∠D=90°，進而得出∠DAE=90°，即可得出直線AE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)關系得出EB=進而得出即可，再設BD=4k，則AD=5k．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=3k，即可得出k的值，進而得出答案．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及銳角三角形有關計算和圓周角定理等知識，根據(jù)已知得出BE=是解題關鍵．