Question

已知∠AOB=α（30°＜α＜45°），∠AOB的余角為∠AOC，∠AOB的補(bǔ)角為∠BOD，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如圖，當(dāng)α=40°，且射線OM在∠AOB的外部時(shí)，用直尺、量角器畫出射線OD，ON的準(zhǔn)確位置；
（2）求（1）中∠MON的度數(shù)，要求寫出計(jì)算過程；
（3）當(dāng)射線OM在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，用含α的代數(shù)式表示∠MON的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

分析：（1）分射線OA在∠BOD的外部和內(nèi)部兩種情況作出圖形；
（2）根據(jù)互為余角和補(bǔ)角的定義求出∠AOC和∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠MOA=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD，然后根據(jù)圖形，分∠MON=∠MOA+∠AOB+∠BON和∠MON=∠NOB-∠MOA-∠AOB分別代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）分射線OA在∠BOD的外部和內(nèi)部兩種情況解答．

解答：解：（1）如圖1，圖2所示；


（2）∵∠AOB=40°，∠AOB的余角為∠AOC，∠AOB的補(bǔ)角為∠BOD，
∴∠AOC=90°-∠AOB=50°，∠BOD=180°-∠AOB=140°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOA=

1

2

∠AOC=

1

2

×50°=25°，∠BON=

1

2

∠BOD=

1

2

×140°=70°，
①如圖1，∠MON=∠MOA+∠AOB+∠BON=25°+40°+70°=135°，
②如圖2，∠MON=∠NOB-∠MOA-∠AOB=70°-25°-40°=5°，
∴∠MON=135°或5°；

（3）∠MON=α+45°或135°-2α．

點(diǎn)評：本題考查了余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，難點(diǎn)在于要分情況討論求解，作出圖形更形象直觀．