Question

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2，DC=3，AD=7，動點P在梯形邊AB、BC上，當(dāng)梯形某兩個頂點和動點P能構(gòu)成直角三角形時，點P到AD之距離記為d，則d為________．

Answer 1

0≤d≤2，d=，d=，d=，d=3
分析：分①點P在AB上時，△APD是直角三角形；②點P在BC上時，△APD是直角三角形，過點P作AD的平行線與AB的延長線相交于點E，與CD相交于點F，可得四邊形AEFD是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=AD=7，AE=DF=d，然后根據(jù)△APE和△PDF相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，再根據(jù)△PBE和△PCF相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，然后整理出只含有d的一元二次方程，求解即可；③點P在BC上時，△CDP是直角三角形，過點B作BE⊥CD于E，過點P作PF⊥AD于F，先求出CE，再利用勾股定理列式求出BC，然后利用∠C的正弦列式求出DP，再利用∠PDF的正弦列式求解即可；④點P與點C重合時，點D是直角頂點．
解答：①點P在AB上時，△APD是直角三角形，點A是直角頂點，
∵AB=2，
∴d=AP，0＜d≤2；
當(dāng)點P與點A重合時，△PDC即△ADC是直角三角形，點D是直角頂點．此時d=ap=0，
綜上所述，0≤d≤2．
②如圖1，點P在BC上時，△APD是直角三角形，
過點P作AD的平行線與AB的延長線相交于點E，與CD相交于點F，
則四邊形AEFD是矩形，
∴EF=AD=7，AE=DF=d，
∵∠APD=90°，
∴∠APE+∠DPF=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，
∴∠DPF=∠PAE，
又∵∠E=∠PFD=90°，
∴△APE∽△PDF，
∴=，
設(shè)PE=x，則PF=7-x，
∴=，
∴d²=-x²+7x，
∵AE∥CD，
∴=，
即=，
∴x=7d-14，
聯(lián)立，
消掉x得，50d²-245d+294=0，
解得d₁=，d₂=；
③如圖2，點P在BC上時，△CDP是直角三角形，
過點B作BE⊥CD于E，過點P作PF⊥AD于F，
則CE=3-2=1，BE=AD=7，
在Rt△BCE中，BC===5，
sin∠C==，
即=，
解得DP=，
∵∠PDF+∠PDC=90°，∠C+∠PDC=90°，
∴∠PDF=∠C，
∴d=PF=DP•sin∠PDF=×=；
④點P與點C重合時，點D是直角頂點，△ADC是直角三角形，
∴d=CD=3，
綜上所述，d為0＜d≤2，d=，d=，d=，d=3．
故答案為：0＜d≤2，d=，d=，d=，d=3．
點評：本題考查了直角梯形，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，綜合題，難點在于根據(jù)點P的位置分情況討論．