Question

操作：在△ABC中，AC=BC=4

2

，∠C=90°．將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞P點旋轉，三角板自兩直角邊分別交射線AC、射線CB于D、E兩點，如右圖，①、②、③是旋轉三角板得到的圖形中的其中三種．

探究：（1）三角板繞P點旋轉時，觀察線段PD與PE之間有什么大小關系？它們的關系表示為

 

并以圖②為例，加以證明；
（2）三角板繞P點旋轉時△PBE是否能成為等腰三角形，若能，指出所有的情況（即求出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據圖形可猜測PD=PE，從而連接CP，通過證明△PCD≌△PEB，可得出結論．
（2）題目只要求是等腰三角形，所以需要分三種情況進行討論，這樣每一種情況下的CE的長也就不難得出．

解答：解：（1）相等關系，PD=PE．

證明如下，AC=BC，∠C=90°，P為AB中點，連接CP，
∴CP平分∠C，CP⊥AB，
∵∠PCB=∠B=45°，
∴CP=PB，
∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠DPC=∠EPB，
在△PDC和△PEB中，

∠DPC=∠EPB CP=PB ∠DCP=∠B

，
∴△PCD≌△PEB（ASA），
∴PD=PE．

（2）△PEB能成為等腰三角形，有以下三種情況：
①當CE=0，此時E和C重合，有PE=PB，△PBE為等腰直角三角形．
②當CE=2

2

時，此時E是BC中點，有PE=EB，△PBE為等腰直角三角形，
③當CE=8時，此時E在CB的延長線上，有BE=BP=4，△PBE頂角為135°的等腰三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定及性質、等腰直角三角形的判定及性質，利用輔助線，分情況討論解本題是關鍵，解答本題（1）利用全等證明邊相等，（2）討論三種情況注意不要丟解．