已知abc≠0，證明：四個數(shù)
(a+b+c)3
abc
、
(b-c-a)3
abc
、
(c-a-b)3
abc
、
(a-b-c)3
abc
中至少有一個不小于6．
分析：整體考慮，求出這四個數(shù)的和，只需證明它們的和大于等于24即可，將
(a+b+c) 3
abc
，
(c-a-b) 3
abc
與
(b-c-a) 3
abc
，
(a-b-c) 3
abc
結(jié)合運用立方差公式進行通分，化簡得出四個數(shù)的和為24，再從每一項都小于6，分析得出假設(shè)不成立，原命題正確．
解答：解：因為
(a+b+c) 3
abc
+
(b-c-a) 3
abc
+
(c-a-b) 3
abc
+
(a-b-c) 3
abc

=
[(a+b+c) 3+(b-c-a) 3]
abc
+
[(c-a-b) 3+(a-b-c) 3]
abc

=
2b(3a 2+b 2+3c 2+6ac)
abc
-
2b(3a 2+b 2+3c 2-6ac)
abc

=
24abc
abc

=24．①
若
(a+b+c) 3
abc
＜6，
(b-c-a) 3
abc
＜6，
(c-a-b) 3
abc
＜6，
(a-b-c) 3
abc
＜6．
則它們的和必小于24，這與①矛盾，
故四個加數(shù)中至少有一個不小于6．
點評：此題主要考查了分式的等式證明，證明結(jié)論四個數(shù)中至少有一個不小于6，可以從四個數(shù)都小于6，得出矛盾，從而得出原命題的正確性．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知△ABC中∠C=90°，BC=4，AC=3，點P是斜邊AB上的一動點，作PE⊥BC于點E，作PF⊥AC于點F，垂足分別為E、F．
（1）求證：四邊形PECF是矩形；
（2）想一想，當點P運動到什么地方時，△APF與△PBE全等，證明你的猜想；
（3）想一想，當點P運動到什么地方時，四邊形PECF是正方形，證明你的猜想；
（4）想一想，當點P運動到什么地方時，四邊形PECF的面積最大，并求出這個最大值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長至點F，使EF=AE，連結(jié)AF、BE和CF．
（1）請在圖中找出一對全等三角形，并加以證明．
（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由．
（3）若∠ABE=40°，求∠CFE的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•紹興三模）已知∠ABC=90°，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ，連接QE并延長交BP于點F．
（1）如圖1，若AB=2
3
，點A、E、P恰好在一條直線上時，求此時EF的長（直接寫出結(jié)果）；
（2）如圖2，當點P為射線BC上任意一點時，猜想EF與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產(chǎn)生新的線段），并加以證明；
（3）若AB=2
3
，設(shè)BP=4，求QF的長．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知abc≠0，證明：四個數(shù)
(a+b+c)3
abc
、
(b-c-a)3
abc
、
(c-a-b)3
abc
、
(a-b-c)3
abc
中至少有一個不小于6．

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