Question

（2012•潮陽區(qū)模擬）如圖，梯形OABC，AB∥OC，∠B=90°，BC=2，底邊OC與x軸重合，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且AD⊥OD．
（1）求證：△ABD∽△DCO；
（2）若雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D，求k的值．

Answer 1

分析：（1）在兩個(gè)直角三角形中證得除去直角外相等的任意一對(duì)角相等即可證得兩個(gè)直角三角形相似．
（2）首先求得A、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)均在雙曲線上表示出其橫坐標(biāo)，然后利用上題證得的兩三角形相似列出比例式即可得到有關(guān)k的方程求得k值即可．

解答：解：（1）證明：∵AB∥OC，∠B=90°，
∴∠B=∠DCO=90°，∠1+∠2=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∴△ABO∽△DCO

（2）解：過點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E，則四邊形AECB是矩形，
∴AE=BC=2，AB=EC
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=

1

2

BC=1
∴A、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為2和1，
∵點(diǎn)A和點(diǎn)D都在雙曲線上，
∴點(diǎn)A、點(diǎn)D的橫坐標(biāo)分別為

k

2

和k，
∴OE=

k

2

，OC=k，
∴AB=EC=OC-OE=

k

2

∵△ABD∽△DCO
∴

AB

DC

=

BD

CO

∴AB•CO=DC•BD
即：

k

2

•k=1×1
解得：k=±

2

∵雙曲線在第一象限，
∴k=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)及相似三角形的知識(shí)，在代數(shù)知識(shí)中滲透幾何知識(shí)是中考的熱點(diǎn)考題之一，需要有很強(qiáng)的能力才行．