Question

如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動，速度為每秒3個單位長度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（0＜t＜）秒．解答如下問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？
（2）設(shè)△AQP的面積為S，
①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則新坐標(biāo)（x₂﹣x₁，y₂﹣y₁）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)．當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），
則OB=6，OA=8，
∴AB===10．
如圖①，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，AQ=2t，BP=3t，則AP=10﹣3t．
∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，
∴當(dāng)t=秒時(shí)，PQ∥BO．
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如圖②所示，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則PD∥BO，
∴，即，
解得PD=6﹣t．S=AQPD=×2t×（6﹣t）=6t﹣t²=﹣（t﹣）²+5，
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣（t﹣）²+5（0＜t＜），
當(dāng)t=秒時(shí)，S取得最大值，最大值為5（平方單位）．
②如圖②所示，當(dāng)S取最大值時(shí)，t=，∴PD=6﹣t=3，
∴PD=BO，
又PD∥BO，
∴此時(shí)PD為△OAB的中位線，則OD=OA=4，
∴P（4，3）．又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．
依題意，“向量PQ”的坐標(biāo)為（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
∴當(dāng)S取最大值時(shí)，“向量PQ”的坐標(biāo)為（，﹣3）．