Question

20．如圖，已知在△ABC 中，AB＞BC，BD平分∠ABC，P點在BD上一點，連接PA、PC．求證：AB-BC＞PA-PC．

Answer 1

分析 要證明AB-BC＞PA-PC，由于四條線段比較分散，可考慮通過三角形全等把它們集中起來．由于AB＞BC，可在AB上截取BM=BC，證明△BPN與△BPC全等，在三角形AMP中，利用三邊關(guān)系得到AM與PA、PC的關(guān)系，等量代換后得到要證明的關(guān)系．

解答 解：在線段BA上截取BM=BC，連接PM．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD
在△BMP與△BCP中
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BC}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BP=BP}\end{array}\right.$
∴△BMP≌△BCP
∴PC=PM．
在△AMP中，∵AM＞PA-PM，
又∵AM=AB-BM，BM=BC，PM=PC
∴AB-BC＞PA-PC．

點評 本題考查了三角形全等及三角形的三邊關(guān)系．在線段AB上截取BM=BC或延長BC到N使BA=BN，利用三角形全等，把BC、PC、AB、PA集中在一個三角形中，利用三角形三邊關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．