(11分)已知拋物線軸交于A、B兩點,與軸交于點C,其中點B在軸的正半軸上,點C在軸的正半軸上,OB=2,OC=8,拋物線的對稱軸是直線

(1)求此拋物線的表達式;

(2)連接AC、BC、,若點E是線段AB上的一個動點(與點A、點B不重合),過點E做EF//AC交與點F,連接CE,設(shè)AE的長為m,△CEF的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;

(3)在(2)的基礎(chǔ)上說明S是否存在最大值,若存在,請求出S的最大值,并求出此點E的坐標(biāo),判斷此時△BCE的形狀;若不存在,請說明理由.

(1);(2),(0<m<8);(3)當(dāng)m=4時,S有最大值,.此時,點E的坐標(biāo)為(—2,0), △BCE是等腰三角形.

【解析】

試題分析:(1)先根據(jù)線段OB、OC的長,得到點B、C兩點坐標(biāo),根據(jù)拋物線的對稱性可得點A坐標(biāo);把A、B、C三點代入二次函數(shù)解析式就能求得二次函數(shù)解析式;

(2)利用A、B、C三點坐標(biāo)得出AB,CO的長,即可得出△ABC的面積;易得,只需利用平行得到三角形相似,求得EF長,進而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE邊上的高;

(3)利用二次函數(shù)求出最值,進而求得點E坐標(biāo).OC垂直平分BE,那么EC=BC,所求的三角形是等腰三角形.

試題解析:(1)∵點B在軸的正半軸上,點C在軸的正半軸上,OB=2,OC=8,∴點B的坐標(biāo)為(2,0),點C的坐標(biāo)為(0,8). 又∵拋物線的對稱軸是直線,∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標(biāo)為(-6,0).∵點C(0,8)在拋物線的圖象上,∴c =8,將A(-6,0)、B(2,0)分別代入,得:,解得:,∴所求拋物線的表達式為;

(2)依題意,AE=m,則BE=8-m, ∵OA=6,OC=8,由勾股定理得AC=10,∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC.∴,即,∴EF=.過點F作FG⊥AB,垂足為G,則sin∠FEG=sin∠CAB=.∴.∴FG=,

∴S===,自變量m的取值范圍是0<m<8;

(3)存在.理由如下:

,∴當(dāng)m=4時,S有最大值,,

∵m=4,∴點E的坐標(biāo)為(﹣2,0),∴△BCE為等腰三角形.

考點:二次函數(shù)綜合題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年江蘇省蘇州市九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

科學(xué)家為了推測最適合某種珍奇植物生長的溫度,將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中,經(jīng)過一定時間后,測試出這種植物高度的增長情況,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:

科學(xué)家經(jīng)過猜想、推測出l與t之間是二次函數(shù)關(guān)系.由此可以推測最適合這種植物生長的溫度為_______℃.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年湖南省耒陽市九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

要使式子有意義,則x的取值范圍是( )

A.x>0 B.x≥-2 C.x≥2 D.x≤2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年黑龍江省五常市九年級上學(xué)期12月階段性測試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

如圖,線段AB、CD相交于O,AD∥BC,AO=4,CO=8,OD=3,則OB= .

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年黑龍江省五常市九年級上學(xué)期12月階段性測試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖,在△ABC中,D為AC邊上一點,若∠DBC=∠A,,AC=3,則CD長為( )

A.1 B. C.2 D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年河南省鄭州市九年級第一次質(zhì)量預(yù)測數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(9分)如圖1,小穎將一組平行的紙條折疊,點A、B分別落在在A′,B′處,線段FB′與AD交于點M.

(1)試判斷△MEF的形狀,并證明你的結(jié)論;

(2)如圖②,將紙條的另一部分CFMD沿MN折疊,點C,D分別落在C′,D′處,且使MD′經(jīng)過點F,試判斷四邊形MNFE的形狀,并證明你的結(jié)論;

(3)當(dāng)∠BFE=_____度時,四邊形MNFE是菱形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年河南省鄭州市九年級第一次質(zhì)量預(yù)測數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

請你寫出一個大于1而小于5 的無理數(shù) .

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年河北省石家莊市九年級上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,P是⊙O外的一點,PA、PB分別與⊙O相切于點A、B,C是AB上的任意一點,過點C的切線分別交PA、PB于點D、E.若PA=4,求△PED的周長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年北京市延慶縣九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

下列圖形中,是中心對稱圖形的是( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案