Question

如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，點(diǎn)E為邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段CE與線段DF交于點(diǎn)G．
（1）若

BF

FC

=

1

3

，求

DG

GF

的值；
（2）連接AG，在（1）的條件下，寫出線段AG和線段DC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）連接AG，若AD=2，AB=3，且△ADG與△CDF相似，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)CE和DA，相交于M，根據(jù)平行線分線段成比例進(jìn)行計(jì)算可以求出

DG

GF

的值．（2）根據(jù)對(duì)應(yīng)線段的比相等可以得到AG與DC的位置和數(shù)量關(guān)系．（3）根據(jù)兩三角形相似，對(duì)應(yīng)線段的比相等，求出線段BF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵BF：FC=1：3，∴設(shè)BF=k，
則FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如圖：延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∵AD∥BC，
∴

AM

BC

=

AE

EB

，且

DG

GF

=

DM

CF

∵點(diǎn)E為邊AB中點(diǎn)，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴

DG

GF

=

6

3

=2．

（2）AG∥DC，且

AG

DC

=

2

3

．
證明：∵AD∥BC，
∴

MG

GC

=

DG

GF

=

2

1

，
∵

MA

AD

=

4a

2a

=

2

1

，
∴

MG

GC

=

MA

AD

，
∴AG∥DC．
∴

AG

DC

=

MA

MD

=

2

3

．

（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情況1，當(dāng)∠AGD=∠FDC時(shí)，有AG∥DC，延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，可得AM=4，
由

AG

DC

=

MA

MD

得

AG

3

=

4

6

，
∴AG=2
∵△ADG與△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴

AG

AD

=

DC

CF

，即

2

2

=

3

CF

，
∴CF=3
∴BF=1．
情況2，當(dāng)∠DAG=∠FDC時(shí)，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)T，可得△ABT∽△FCD，
則

AB

BT

=

FC

CD

，由AD∥BC得

AD

FT

=

DG

GF

=

DM

CF

，
設(shè)BF=x，可得FT=

4-x

3

，
∴

3

x+ 4-x 3

=

4-x

3

，
整理得：2x²-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴無(wú)實(shí)數(shù)根；
∴BF=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）根據(jù)梯形的兩底平行，延長(zhǎng)CE和DA，運(yùn)用平行線分線段成比例求出兩線段的比．（2）根據(jù)對(duì)應(yīng)線段的比相等，證明兩線段互相平行．（3）根據(jù)兩三角形相似，對(duì)應(yīng)線段的比相等，求出線段BF的長(zhǎng)．