Question

如圖△AOC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于點(diǎn)B，垂足為點(diǎn)O，連接AB交OC于點(diǎn)D，∠CAD=∠CDA．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OA=5，OD=1，求線段AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)已知條件“∠CAD=∠CDA”、對(duì)頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據(jù)等腰三角形OAB的兩個(gè)底角相等、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)“等角對(duì)等邊”可以推知AC=DC，所以由圖形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切線的性質(zhì)可以在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理來求AC的長度．

解答：（1）證明：∵∠CAD=∠CDA，∠BDO=∠CDA，
∴∠BDO=∠CAD，
又∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵OB⊥OC，
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，
即∠OAC=90°，
∴AC是⊙O的切線；

（2）設(shè)AC=x，
∵∠CAD=∠CDA，
∴DC=AC=x，
∵OA=5，OD=1，
∴OC=OD+DC=1+x；
∵由（1）知，AC是⊙O的切線，
∴在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得，：OC²=AC²+OA²，
即（1+x）²=x²+5²，
解得x=12，
即AC=12．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．