Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P₁（x₁,y₁）與P₂（x₂,y₂）的“非常距離”，
給出如下定義：
若∣x₁－x₂∣≥∣y₁－y₂∣，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為∣x₁－x₂∣；
若∣x₁－x₂∣＜∣y₁－y₂∣，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為∣y₁－y₂∣.
例如：點(diǎn)P₁（1,2），點(diǎn)P₂（3,5），因?yàn)楱O1－3∣＜∣2－5∣，所以點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為
∣2－5∣=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x
軸的直線P₂Q的交點(diǎn)）。
（1）已知點(diǎn)，B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；
（2）已知C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最
小值及相應(yīng)的點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)。
 

Answer 1

解：（1）①（0，－2）或（0，2）。
②。
（2）①設(shè)C坐標(biāo)為，如圖，過點(diǎn)C作CP⊥x軸于點(diǎn)P，作CQ⊥y軸于點(diǎn)Q。

由“非常距離”的定義知，當(dāng)OP=DQ時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”最小，
∴。
兩邊平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值距離為，此時(shí)。
②設(shè)直線與x軸和y軸交于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)O作直線的垂線交直線于點(diǎn)C，交圓于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CP⊥x軸于點(diǎn)P，作CQ⊥y軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，作EN⊥y軸于點(diǎn)N。
易得，OA=4，OB=3，AB=5。

由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=，ON=�！�。
設(shè)C坐標(biāo)為
由“非常距離”的定義知，當(dāng)MP=NQ時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，
∴。
兩邊平方并整理，得，
解得，或（大于，舍去）。
∴點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值距離為1，此時(shí)，。

解析