Question

已知平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²-（a+1）x與直線y=kx的一個公共點為A（4，8）．
（1）求此拋物線和直線的解析式；
（2）若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值；
（3）記（1）中拋物線的頂點為M，點N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點N的坐標及梯形AOMN的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由待定系數(shù)法可得出k和a；
（2）設(shè)點P的坐標為（t，2t），則可得點Q的坐標，從而求出PQ，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得出最大長度；
（3）易求得點M的坐標，過點M作直線OA的平行線交拋物線于點N，則四邊形AOMN為梯形．由平移的性質(zhì)可得出直線MN的解析式，再由點M在直線MN上，求得點N的坐標．再用割補法和面積的求法得出答案．
解答：解：（1）由題意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，
解得a=1，k=2，
所以，拋物線的解析式為y=x²-2x，直線的解析式為y=2x．（2分）

（2）設(shè)點P的坐標為（t，2t）（0≤t≤4），可得點Q的坐標為（t，t²-2t），
則PQ=2t-（t²-2t）=4t-t²=-（t-2）²+4，
所以，當t=2時，PQ的長度取得最大值為4．（4分）

（3）易知點M的坐標為（1，-1）．過點M作直線OA的平行線交拋物線于點N，如圖所示，四邊形AOMN為梯形．直線MN可看成是由直線OA向下平移b個單位得到，所以直線MN的方程為y=2x-b．因為點M在直線y=2x-b上，解得b=3，即直線MN的方程為y=2x-3，將其代入y=x²-2x，可得2x-3=x²-2x
即x²-4x+3=0
解得x₁=1，x₂=3
易得y₁=-1，y₂=3
所以，直線MN與拋物線的交點N的坐標為（3，3）．（5分）
如圖，分別過點M、N作y軸的平行線交直線OA于點G、H，
顯然四邊形MNHG是平行四邊形．可得點G（1，2），H（3，6）．


S_□MNHG=（3-1）×NH=2×3=6
所以，梯形AOMN的面積S_梯形AOMN=S_△OMG+S_□MNHG+S_△ANH=9．（7分）
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的解析式、直線的解析式，以及梯形和三角形的面積求法．在求有關(guān)最值問題時要注意二次函數(shù)的頂點．