Question

已知函數(shù)y=x²-4x與x軸交于原點O及點A，直線y=x+a過點A與拋物線交于點B．
（1）求點B的坐標與a的值；
（2）是否在拋物線的對稱軸存在點C，在拋物線上存在點D，使得四邊形ABCD為平行四邊形？若存在求出C、D兩點的坐標，若不存在說明理由；
（3）若（2）中的平行四邊形存在，則以點C為圓心，CD長為半徑的⊙C與直線AB有何位置關系？并請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)y=x²-4x與x軸交于原點O及點A，當y=0，0=x²-4x，求出圖象與x軸交點坐標，進而求出a的值，再求出兩圖象交點坐標，即可得出B點坐標；
（2）利用平行四邊形的性質得出C，D兩點坐標即可；
（3）根據(jù)兩點之間的距離求法得出CD=AB=3

2

，BC=

12+52

=

26

，AC=

22+22

=2

2

，即可得出AC⊥AB，進而得出⊙C與直線AB相交．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=x²-4x與x軸交于原點O及點A，
∴當y=0，0=x²-4x，
解得：x₁=0，x₂=4，
故圖象與x軸交于A點：（4，0），
將A點代入y=x+a，
得：0=4+a，
則a=-4，
將y=x-4與y=x²-4x聯(lián)立：

y=x-4 y=x2-4x

，
解得：

x1=1 y1=-3

，

x2=4 y2=0

，
故B的坐標（1，-3），a=-4；

（2）存在．
如圖所示，假設四邊形ABCD為平行四邊形，
因為BC∥AD，BC=AD，又點B坐標為（1，-3），點C的橫坐標為2，點A的橫坐標為4，
所以點D的橫坐標為4+1=5，點D的縱坐標y=5²-4×5=5，點C的縱坐標為-3+5=2，
即C（2，2），D（5，5）；

（3）⊙C與直線AB相交．理由如下：
如圖所示，連接AC，
∵C（2，2），D（5，5），B（1，-3），A（4，0），
∴CD=AB=3

2

，BC=

12+52

=

26

，AC=

22+22

=2

2

，
∴CD²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥AB，
∵AC=2

2

＜3

2

，
因此⊙C與直線AB相交．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及平面內(nèi)兩點之間的距離求法，正確求出C，D兩點距離是解題關鍵．