Question

已知拋物線y=-

1

2

x2-(n+1)x-2n(n＜0)經(jīng)過點(diǎn)以點(diǎn)A（x₁，0）B（x₂，0），D（0，y₁），其中x₁＜x₂，△ABD的面積等于12．
（1）求這條拋物線的解析式及它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)以C（2，y₂）在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸的正半軸上，且△BCP為等腰三角形，求直線PB的解析式．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)拋物線的解析式表示出A、B的橫坐標(biāo)，可得出AB的長，然后根據(jù)△ABD的面積為12，可求出n的值．即可求出拋物線的解析式，進(jìn)而可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）本題可分三種情況：
①PB=PC，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，可根據(jù)坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式或通過直角三角形用勾股定理表示出PB和PC長，根據(jù)PB=PC的等量關(guān)系即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)PB=BC，③當(dāng)PC=BC同①．
求出P點(diǎn)坐標(biāo)后即可求出直線PB的解析式．

解答：解：（1）根據(jù)題意，令y=0，整理，得
x²+2（n+1）x+4n=0（n＜0），
解得x₁=-2，x₂=-2n，
∴AB=|x₂-x₁|=2-2n，又OD=|y₁|=-2n．
∵S_△ABD=

1

2

AB•OD=12，
∴

1

2

（2-2n）（-2n）=12，
解得n=3（舍去），n=-2．
∴y=-

1

2

x²+x+4．
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

9

2

）．

（2）∵點(diǎn)C（2，y₂）在這條拋物線上，D（0，4），
∴y₂=4，即C（2，4），
∴∠CDO=90°，
∴∠BOD=90°．
根據(jù)題意畫出示意圖
①如圖1，設(shè)P₁（0，m₁），滿足P₁B=P₁C，其中m₁＞0．由勾股定理得，
OB²+OP₁²=DP₁²+DC²，
即4²+m₁²=（4-m₁）²+2²，
解得m₁=

1

2

，
即P₁（0，

1

2

），符合題意，
直線P₁B的解析式為y=-

1

8

x+

1

2

．
②如圖2，設(shè)P₂（0，m₂），滿足P₂B=BC，其中m₂＞0．
由勾股定理得，
OB²+OP₂²=4²+2²，
即4²+m₂²=4²+2²，
解得m₂=-2（舍去），m²=2，
即P₂（0，2），符合題意，直線P₂B的解析式為y=-x+2．
③設(shè)P₃（0，m₃），滿足P₃C=BC，其中m₃＞0，由勾股定理得，
DP₃²+CD²=4²+2²，
即（4-m₃）²+2²=4²+2²，
解得m₃=0（舍去），m₃=8，
即P₃（0，8）．
直線P₃B的解析式為y=-2x+8，
∵C（2，4）在P₃B上，
∴P₃不符合題意，舍去．
綜上所述，直線PB的解析式為y=-

1

8

x+

1

2

，y=-x+2．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定等知識點(diǎn)．
（2）中要根據(jù)等腰三角形的腰和底的不同分類討論．