精英家教網(wǎng)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,以AB上的一點O為圓心分別與均AC,BC相切于點D、E.
①求⊙O的半徑;
②求sin∠BOC的值.
分析:(1)連接OD,OE,根據(jù)S△AOC+S△BOC=S△ABC,即
1
2
AC•OD+
1
2
BC•OE=
1
2
AC•BC即可求解;
(2)過點C作CF⊥AB,垂足為F,在Rt△ABC與Rt△OEC中,根據(jù)勾股定理求出AB,OC,根據(jù)三角形ABC的面積等于
1
2
AC•BC=
1
2
AB•CF,就可以求出CF的值,就可以求出sin∠BOC的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)連接OD,OE,設OD=r
∵AC,BC切⊙O于D,E
∴∠ODC=∠OEC=90°,OD=OE
∵S△AOC+S△BOC=S△ABC
1
2
AC•OD+
1
2
BC•OE=
1
2
AC•BC
1
2
×4r+
1
2
×2r=
1
2
×4×2,
∴r=
4
3

(2)過點C作CF⊥AB,垂足為F,連接OC,
在Rt△ABC與Rt△OEC中
AB=
42+22
=2
5
,OC=
(
4
3
)
2
+(
4
3
)
2
=
4
3
2

1
2
AC•BC=
1
2
AB•CF
∴CF=
AC•BC
AB
=
4
5
5

∴sin∠BOC=
CF
OC
=
4
5
5
×
3
4
2
=
3
10
10

即sin∠BOC=
3
10
10
點評:本題考查的是切線性質(zhì)的實際應用,運用切線的性質(zhì)可證明四邊形ODCE正方形.根據(jù)三角形的面積的公式就可以求解.
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(2)若⊙0的半徑為r,△ABC的周長為ι,求△ABC的面積.

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(2)求AD的長.

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