Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點(diǎn)，OM=4；矩形ABCD的邊BC 在線段OM上，點(diǎn)A、D在拋物線上．
（1）請寫出P、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求這條拋物線的解析式．
（2）設(shè)矩形ABCD的周長為L
①當(dāng)BC=2時，求矩形ABCD的周長；
②矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值．
（3）連接OP、PM，則△PMO為等腰三角形，請判斷在拋物線上是否還存在點(diǎn)Q（除點(diǎn)M外），使得△OPQ也是等腰三角形？若有，請在圖上用尺規(guī)作圖方法作出．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)P到軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點(diǎn)，OM=4，知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是OM的一半，即2；點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4．點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4，0）．根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可以運(yùn)用頂點(diǎn)式求函數(shù)的解析式，再進(jìn)一步把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入即可．
（2）①作二次函數(shù)對稱軸PE，根據(jù)CB=2和對稱軸的坐標(biāo)可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出CD的長，然后求出矩形ABCD的周長；
②設(shè)C（x，0），則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．分別表示出矩形的長和寬，再進(jìn)一步根據(jù)矩形的周長公式進(jìn)行計算．然后根據(jù)二次函數(shù)的最值方法進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可以考慮OP當(dāng)?shù)讜r，共有4個點(diǎn)符合條件，．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得P（2，4）；M（4，0）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+4，
過點(diǎn)M（4，0），則4a+4=0，
∴a=-1，y=-（x-2）²+4=4x-x²，即y=-x²+4x；

（2）如圖1，①作二次函數(shù)對稱軸PE，
∵BC=2，
∴CE=1，
又∵對稱軸為x=-

4

2×(-1)

=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
將x=1代入y=-x²+4x，得CD=y=-1+4=3，
則矩形ABCD的周長為2CD+2BC=2×（2+3）=10．
②設(shè)C（x，0），
則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．
∵L=2（BC+CD）
=2[（4-2x）+（4x-x²）]
=2（-x²+2x+4）
=-2（x-1）²+10，
∵當(dāng)x=1時，L有最大值，即L_最大值=10；

（3）存在，如圖2．應(yīng)該一共存在4個點(diǎn)，OP的垂直平分線與拋物線有兩個交點(diǎn)，
以O(shè)為圓心，OP為半徑作圓，圓與拋物線也有兩個交點(diǎn)（除P點(diǎn)以外），
這四個點(diǎn)都符合題意．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，能夠根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)拇�定系�?shù)法求得二次函數(shù)的解析式；能夠利用建立函數(shù)關(guān)系式的方法求得周長或面積的最值；若要構(gòu)成等腰三角形，則已知的邊可以當(dāng)?shù)祝�也可以�?dāng)腰．