Question

如圖所示平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8），若一次函數(shù)y=kx+2的圖象平分矩形OABC的面積．
（1）求一次函數(shù)的解析式．
（2）求（1）中一次函數(shù)與矩形的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)D（-1，0），在一次函數(shù)圖象上求一點(diǎn)P，使△ADP為直角三角形，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）求出矩形的中心坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，過(guò)矩形中心的直線把矩形分成面積相等的兩部分，然后代入計(jì)算即可得解；
（2）令x=0，x=4，利用一次函數(shù)解析式求解即可；
（3）分點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)，點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)，利用一次函數(shù)解析式計(jì)算即可；點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（a，a+2），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，根據(jù)△APE和△PDE相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8），
∴矩形OABC的中心坐標(biāo)為（2，4），
∵一次函數(shù)y=kx+2的圖象平分矩形OABC的面積，
∴2k+2=4，
解得k=1，
所以，一次函數(shù)的解析式為y=x+2；

（2）x=0時(shí)，y=2，
x=4時(shí)，y=4+2=6，
所以，一次函數(shù)與矩形的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（4，6）；

（3）若點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)，則x=-1時(shí)，y=-1+2=1，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，1），
若點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)，則x=4，y=4+2=6，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），
若P是直角頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（a，a+2），
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，則△APE∽△PDE，
所以，

AE

PE

=

PE

DE

，
所以，

4-a

a+2

=

a+2

a-(-1)

，
整理得，2a²+a=0，
解得a₁=0，a₂=-

1

2

，
當(dāng)a=0時(shí)，a+2=2，
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，a+2=

3

2

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或（-

1

2

，

3

2

）；
綜上所述，△ADP為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，1）或（4，6）或（0，2）或（-

1

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（1）熟記過(guò)矩形中心的直線把矩形分成面積相等的兩部分，（3）分情況討論．