Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；
（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC=∠CEB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE．
（3）DE、AD、BE具有的等量關(guān)系為：DE=BE-AD．證明的方法與（2）相同．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）證明：在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB=90° ∠ACD=∠CBE AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）DE=BE-AD．
易證得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)．