Question

（2012•北塘區(qū)二模）如圖，矩形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，BC邊在x軸上，點(diǎn)A（-1，2），點(diǎn)C（3，0）．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)D后停止．把BP的中點(diǎn)M繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)N，連接PN，DN．設(shè)P的運(yùn)動時間為t秒．
（1）經(jīng)過1秒后，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時，△PND的面積最大？并求出這個最大值；
（3）求在整個過程中，點(diǎn)N運(yùn)動的路程是多少？

Answer 1

分析：（1）首先證明△BAP∽△PQN進(jìn)而得出

AB

QP

=

AP

NQ

=

BP

NP

=2，利用A，C坐標(biāo)得出PQ=1，NQ=

1

2

，即可得出答案；
（2）首先表示出NQ=

t

2

，PD=4-t，再利用△PND的面積為y=

1

2

•

t

2

(4-t)進(jìn)而利用二次函數(shù)最值求出即可；
（3）求出P點(diǎn)在A，D兩點(diǎn)時N點(diǎn)位置，再利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時，AP=1，過點(diǎn)N作NQ⊥AD于點(diǎn)Q，
∵把BP的中點(diǎn)M繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)N，
∴∠BPN=90°，
∴∠APB+∠QPN=90°，
∵∠PQN=90°，
∴∠QPN+∠QNP=90°，
∴∠APB=∠QNP，
又∵∠A=∠PQN=90°，
∴△BAP∽△PQN，
∴

AB

QP

=

AP

NQ

=

BP

NP

=2，
∴PQ=1，NQ=

1

2

，
∴N（1，

3

2

）；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒時，
∵點(diǎn)A（-1，2），點(diǎn)C（3，0），
∴NQ=

t

2

，PD=4-t，
∴△PND的面積=y=

1

2

•

t

2

(4-t)=-

t2

4

+t=-

1

4

（t-2）²+1，
當(dāng)t=2時，y最大，
y_最大=1．

（3）因?yàn)镻Q=1，AP=t，點(diǎn)A（-1，2），
所以N（t，2-

t

2

），
當(dāng)t=0時，2-

t

2

=2；則N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
當(dāng)t=4時，2-

t

2

=0，則N′點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），并且點(diǎn)N沿直線y=2-

t

2

運(yùn)動，
所以：點(diǎn)N運(yùn)動的路程是：NN′=

42+22

=2

5

．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的綜合應(yīng)用以及二次函數(shù)最值問題等知識，正確利用數(shù)形結(jié)合得出N點(diǎn)移動路線是解題關(guān)鍵．