Question

如圖，已知直線y=2x和雙曲線y=都經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)P（-2，a）在雙曲線上．
（1）求出a的值及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）判斷△PAB的形狀并說明理由；
（3）雙曲線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAP是以AP為底的等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=上，
∴a==-1，
∴P（-2，-1），
∴，解得或，
∴A（-1，-2），B（1，2）；

（2）△PAB是直角三角形．
過點(diǎn)B作BH⊥x軸，垂足為H，
在Rt△OBH中，OB==，
同理可得，OP=，OA=，
∴OA=OB=OP，
∴∠OPB=∠OBP，∠OPA=∠OAP，
∵∠OPB+∠OBP+∠OPA+∠OAP=180°，
∴∠OPB+∠OPA=90°，即∠APB=90°，
∴△PAB是∠APB為直角的直角三角形；

（3）過點(diǎn)O作OC⊥AP于點(diǎn)C，
∵由（2）知，OP=OA，
∴OC平分線段AP，即OC是AP的垂直平分線，
設(shè)BP的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，解得k=1，
∵BP⊥AP，
∴BP∥OC，
∴直線OC的解析式為y=x，
∴，解得或．
∴Q₁（，），Q₂（-，-）
分析：（1）把點(diǎn)P（-2，a）代入反比例函數(shù)y=即可得出a的值，再把直線y=2x與雙曲線y=聯(lián)立即可得出x、y的值，故可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥x軸，垂足為H，再根據(jù)勾股定理得出OB，OP，OA的長，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)O作OC⊥AP于點(diǎn)C，由（2）知，OP=OA，故可得出OC平分線段AP，即OC是AP的垂直平分線，設(shè)BP的解析式為y=kx+b（k≠0），把B、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出k的值，故可得出直線OC的解析式為y=x，聯(lián)立直線OC與反比例函數(shù)的解析式即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、直角三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．