如圖所示,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,∠DAB=60°,點(diǎn)M是邊AD上一點(diǎn),DM=2cm,點(diǎn)E、F分別從A、C同時(shí)出發(fā),以1cm/s的速度分別沿邊AB、CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),EM、CD的延長(zhǎng)線相交于G,GF交AD于O.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),△CGF的面積為y(cm2).精英家教網(wǎng)
(1)當(dāng)x為何值時(shí),GD的長(zhǎng)度是2cm?
(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時(shí)刻,使得線段GF把菱形ABCD分成的上、下兩部分的面積之比為1:5?若存在,求出此時(shí)x的值;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)易證△DMG∽△AME,故有
DG
AE
=
DM
AM
=
1
2
,故有當(dāng)x=4s時(shí),GD的長(zhǎng)度是2cm.
(2)過(guò)F作FH⊥DC于H點(diǎn),則有y=
1
2
GC•FH,故利用相似三角形的性質(zhì)和正弦的概念求得GC和FH的值即可,
(3)過(guò)D作DP⊥BC于P,由菱形的高PD=6×sin60°=3
3
,求得菱形的面積,所以當(dāng)S梯形ODCF=
1
6
S菱形時(shí)有使得線段GF把菱形ABCD分成的上、下兩部分的面積之比為1:5,利用相似三角形的性質(zhì),用x表示出梯形的上下底OD,CF,代入面積公式中建立方程而求解.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵DC∥AB,
∴△DMG∽△AME,
DG
AE
=
DM
AM
,
AE=
AM•DG
DM
=4
,
即當(dāng)x=4s時(shí),GD的長(zhǎng)度是2cm.

(2)∵△DMG∽△AME,
DG
AE
=
DM
AM
,
DG=
DM•AE
AM
=
2x
4
=
x
2
,
∴GC=6+
x
2
,
過(guò)F作FH⊥DC于H點(diǎn),
∴FH=CF•sin60°=
3
2
x
,
∴y=
1
2
GC•FH,
=
1
2
(6+
x
2
)•
3
2
x=
3
8
x2+
3
3
2
x


(3)設(shè)運(yùn)動(dòng)x(s)時(shí),GF分菱形上、下兩部分的面積比為1:5,
此時(shí)△OGD∽△FGC,
GD
GC
=
OD
FC
,
OD=
GD•FC
GC
=
x
2
•x
6+
x
2
=
x2
x+12
,
過(guò)D作DP⊥BC于P,則PD=6×sin60°=3
3

由題意知,
1
2
(
x2
x+12
+x)•3
3
=
1
6
×6×3
3
,
x2
x+12
+x=2
,
解得:x1=
73
-5
2
x2=
-
73
-5
2
(舍去),
經(jīng)檢驗(yàn):x=
73
-5
2
是原方程的解.
∴當(dāng)x=
73
-5
2
時(shí),GF分菱形上、下兩部分的面積比為1:5.
點(diǎn)評(píng):本題利用了菱形和梯形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的概念,相似三角形的判定和性質(zhì),分式方程的解法,
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AB=AC(或∠B=∠C,或BD=DC)
時(shí),四邊形AEDF是菱形.(填一個(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)臈l件即可)

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