Question

如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=MD．求證：AB=BC．

Answer 1

【答案】分析：先過(guò)A作AE⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，由于AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥CD，易證四邊形ABCE是長(zhǎng)方形，而∠AMB=75°，∠DMC=45°，可求∠AMD=60°，∠CDM=45°，而AM=DM，那么△AMD是等邊三角形，于是∠ADM=∠MAD=60°，AM=AD，∠ADE=75°，利用AAS可證△ADE≌△AMB，可得AB=AE，易證四邊形ABCE是正方形，從而有AB=BC．
解答：證明：如右圖所示，過(guò)A作AE⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥CD，
∴∠B=∠C=∠E=90°，
∴四邊形ABCE是長(zhǎng)方形，
∵∠AMB=75°，∠DMC=45°，
∴∠AMD=60°，∠CDM=45°，
又∵AM=MD，
∴△AMD是等邊三角形，
∴∠ADM=∠MAD=60°，AM=AD，∠ADE=75°，
∵∠CDM=45°，
∴∠ADM=180°-45°-60°=75°，
∴∠AMB=∠ADE，
在△ADE與△AMB中，

∴△ADE≌△AMB，
∴AB=AE，
∴四邊形ABCE是正方形，
∴AB=BC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、長(zhǎng)方形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造正方形．