Question

如圖，△ABO中，∠A=90°，AO=AB=2

2

，OB=4，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，在O和B處分別有動(dòng)點(diǎn)P和Q，P從O沿OA向A運(yùn)動(dòng)，Q從B沿AB的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為

2

，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，且0＜t＜2．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)及AB所在的直線的解析式．
（2）求△APQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）設(shè)PQ與BO相交于E，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（0＜t＜2），PE與EQ是否相等．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作高AD，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求A的坐標(biāo)；然后用待定系數(shù)法求直線AB的解析式．
（2）用t表示出AP和AQ，再用面積公式不難求出．
（3）可以利用三角形全等來(lái)證明兩條線段相等．

解答：解：（1）作AD⊥OB于D點(diǎn)，如圖（1），
∵AO=AB=2

2

，OB=4，
∴OD=BD=2，
∵∠OAB=90°
∴AD=OD=2
∴A（2，2）、B（4，0）
設(shè)AB所在的直線的解析式為y=kx+b
把A（2，2）、B（4，0）代入得：

2=2k+b 0=4k+b

解得：

k=-1 b=4

∴AB所在的直線的解析式為：y=-x+4
∴A（2，2）、AB所在的直線的解析式為：y=-x+4

（2）由題意知：OP=BQ=

2

t
∴AP=2

2

-

2

t，AQ=2

2

+

2

t
∴S=

1

2

AP•AQ=

1

2

（2

2

-

2

t）（2

2

+

2

t）=4-t²

（3）相等
理由：
作PM⊥OB于M點(diǎn)，QN⊥OB于N點(diǎn)，如圖（2）
∴∠PMO=∠QNB=90°，
∵P、B運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，
∴OP=BQ，
在△OPM和△BQN中，
∵

∠PMO=∠QNB=90° ∠POM=∠QBN OP=BQ

 
∴△OPM≌△BQN（AAS），
∴PM=QN，
又∵∠PEM=∠QEN，
∴在△PME和△QNE中，
∴

∠PEM=∠QEN ∠EMP=∠ENQ PM=QN

，
∴△PME≌△QNE（AAS），
∴PE=EQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系法求函數(shù)解析式、三角形的面積、全等三角形的證明等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線是解題的關(guān)鍵，前兩問(wèn)難度不大，第三問(wèn)不容易想到，多分析證明兩條線段相等的方法．