Question

【題目】已知，如圖1，在ABCD中，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）如圖2，點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)G不與點(diǎn)B、C重合），連接AG交DF于點(diǎn)H，連接HC，過(guò)點(diǎn)A作AK∥HC，交DF于點(diǎn)K．

①求證：HC=2AK；

②當(dāng)點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)時(shí)，恰有HD=nHK（n為正整數(shù)），求n的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）n=4．

【解析】

此題涉及的知識(shí)點(diǎn)是兩三角形全等的判定，平行四邊形的性質(zhì)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)先根據(jù)已知條件證明△ADE≌△BFE，再根據(jù)兩三角形相似的判定，等量代換得出邊的大小關(guān)系

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，

在△ADE和△BFE中，

，

∴△ADE≌△BFE；

（2）如圖2，作BN∥HC交EF于N，

∵△ADE≌△BFE，

∴BF=AD=BC，

∴BN=HC，

由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN，

∴AK=BN，

∴HC=2AK；

（3）如圖3，作GM∥DF交HC于M，

∵點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)，

∴CG=CF，

∵GM∥DF，

∴△CMG∽△CHF，

∴==，

∵AD∥FC，

∴△AHD∽△GHF，

∴===，

∴=，

∵AK∥HC，GM∥DF，

∴△AHK∽△HGM，

∴==，

∴=，即HD=4HK，

∴n=4．