Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是AD和BC的中點．

（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；

（2）若AC＝CD，求證四邊形AMCN是矩形；

（3）若∠ACD＝90°，求證四邊形AMCN是菱形；

（4）若AC＝CD，∠ACD＝90°，求證四邊形AMCN是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；

（4）根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論．

（1）由已知得AD∥BC，AD＝BC，

∵M、N分別是AD和BC的中點，

∴

∵AM∥CN，AM＝CN，

∴四邊形AMCN是平行四邊形；

（2）∵AC＝CD，M是AD的中點，

∴∠AMC＝90°，

∵由（1）知，四邊形AMCN是平行四邊形，

∴四邊形AMCN是矩形；

（3）∵∠ACD＝90°，M是AD的中點，

∴AM＝CM，

∵由（1）知，四邊形AMCN是平行四邊形，

∴四邊形AMCN是菱形；

（4）∵AC＝CD，M是AD的中點，

∴∠AMC＝90°，

∵由（1）知四邊形AMCN是平行四邊形，

∴四邊形AMCN是矩形，

∵∠ACD＝90°，M是AD的中點，

∴AM＝CM，

∴四邊形AMCN是菱形，

∴四邊形AMCN是正方形