Question

如圖，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AE=15，連接BE交AC于點(diǎn)P．
（1）求AP的長(zhǎng)；
（2）若以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作⊙A，試判斷線段BE與⊙A的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）已知以點(diǎn)A為圓心，r₁為半徑的動(dòng)⊙A，使點(diǎn)D在動(dòng)⊙A的內(nèi)部，點(diǎn)B在動(dòng)⊙A的外部．
①求動(dòng)⊙A的半徑r₁的取值范圍；
②若以點(diǎn)C為圓心，r₂為半徑的動(dòng)⊙C與動(dòng)⊙A相切，求r₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得AE∥BC，又可求得AC的長(zhǎng)，然后利用平行線分線段成比例定理即可求得AP的長(zhǎng)；
（2）由AB=8，AE=15，求得BE的長(zhǎng)，然后作AH⊥BE，垂足為H，由AB•AE=BE•AH，求得AH的長(zhǎng)，則可求得答案；
（3）①由圖形即可求得答案，②由外切的性質(zhì)即可求得答案．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，
∵AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵

AP

CP

=

AE

CB

，即

AP

10-AP

=

15

6

解得：AP=

50

7

．

（2）∵AB=8，AE=15，
∴BE=17．
作AH⊥BE，垂足為H，
則AB•AE=BE•AH，
∴AH=

AB•AE

BE

=

8×15

17

=

120

17

．
∵

50

7

＞

120

17

，
∴⊙A與BE相交．

（3）
①6＜r₁＜8，
②∵AC=10，
∴2＜r₂＜4，或16＜r₂＜18．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．