Question

如圖，拋物線y=-x²+4x+5交X軸于A、以A左B右）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限函數(shù)圖象上一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，連接AP，拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得線段PA被BC平分？如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，交BC于F，根據(jù)拋物線和直線BC的解析式表示出PF，再根據(jù)S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF整理即可得解；
（3）設(shè)AP、BC的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行可得EG∥PH，然后判斷出△AGE和△AHP相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

AE

AP

=

AG

AH

=

EG

PH

=

1

2

，再表示出EG、HG，然后表示出BG，根據(jù)OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得EG=BG，然后列出方程求出m的值，再根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得解．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-x²+4x+5=0，
即x²-4x-5=0，
解得x₁=5，x₂=-1，
∵A左B右，
∴A（-1，0），B（5，O），
當(dāng)x=0時(shí)，y=5，
∴C（0，5），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
則

5k+b=0 0×k+b=5

，
解得

k=-1 b=5

，
∴直線BC解析式為，y=-x+5；

（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，交BC于F，
∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，-m²+4m+5）F（m，-m+5），
∴PF=（-m²+4m+5）-（-m+5）=-m²+5m，
∵S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF，
∴S=

1

2

（-m²+5m）×m+

1

2

（-m²+5m）×（5-m）=-

5

2

m²+

25

2

m，
∴S=-

5

2

m²+

25

2

m；

（3）存在點(diǎn)P．
如圖，設(shè)AP、BC的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，
∴EG∥PH，
∴△AGE∽△AHP，
∴

AE

AP

=

AG

AH

=

EG

PH

=

1

2

，
∵P（m，-m²+4m+5），
∴EG=

1

2

PH=

-m2+4m+5

2

，
AH=m-（-1）=m+1，
GH=

1

2

AH=

m+1

2

，
HB=5-m，GB=GH+HB=

m+1

2

+5-m，
∵OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴EG=BG，
∴

-m2+4m+5

2

=

m+1

2

+5-m，
整理得，m²-5m+6=0，
解得m₁=2，m₂=3，
當(dāng)m=2時(shí)，-m²+4m+5=-2²+4×2+5=9，
此時(shí)，P（2，9），
當(dāng)m=3時(shí)，-m²+4m+5=-3²+4×3+5=8，
此時(shí)P（3，8），
∴存在這樣的點(diǎn)P（2，9）或P（3，8），使得線段PA被BC平分．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在于（3）作輔助線并根據(jù)EG=BG列出方程．