Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c過點A（3，0）和原點O．正方形BCDE的頂點B在拋物線y=x²+bx+c上，且在對稱軸的左側，點C、D在x軸上，點E在第四象限，且OD=1．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）求正方形BCDE的邊長．
（3）若正方形BCDE沿x軸向右平移，當正方形的頂點落在拋物線y=x²+bx+c上時，求平移的距離．

Answer 1

解：（1）由題意可得：，
解得．
故這條拋物線的解析式y(tǒng)=x²-3x．

（2）設正方形的邊長為a，
∵OD=1，
∴OD=1-a，
∴B（1-a，-a）代入解析式：-a=（1-a）²-3（1-a）．
解得：a₁=-1，a₂=-1-（不合題意舍去），
故正方形BCDE的邊長為：-1；

（3）①當E點運動到拋物線上時，設平移后正方形為B′C′D′E′，
根據拋物線的對稱性可知：E′（1+，1-），
因此OD′=1+，即平移的距離為OD′-OD=．
②當B點運動到拋物線上時，同理可求得B′（1+，1-），
因此OC′=1+，
因為OC=1-a=2-，
因此平移的距離為OC′-OC=2-1．
③當D點運動到拋物線上時，可得D′（3，0），因此平移的距離為OD′-OD=3-1=2．
④當C點運動到拋物線上時，可得C′（3，0），因此拋物線移動的距離為OC′-OC=3-（2-）=1+．
綜上所述，正方形平移的距離為，2，2-1，+1．
分析：（1）將A和原點的坐標代入拋物線中，即可求出拋物線的解析式．
（2）可設出C的坐標如（a，0），那么CD=BC=1-a，因此B點坐標為（a，1-a）代入拋物線的解析式中即可求出B點坐標，代入求得的函數(shù)解析式即可求得a值，從而求得正方形的邊長．
（3）本題要按四邊頂點分別在拋物線的圖象上這四種情況進行求解，解題思路一致．以E點落在拋物線圖象上為例說明：題（2）已經求出了正方形的邊長為-1，根據拋物線的對稱性，那么此時E′的坐標為（1+，1-），已知了OD=6，而OD′=1+，因此移動的距離為OD′-OD=．．
點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、正方形的性質、函數(shù)圖象的平移、一次函數(shù)的應用等知識，考查的知識點比較多，題目難度比較大．