Question

(本題滿分9分)
如圖11，已知拋物線與x 軸交于兩點(diǎn)A、B，其頂點(diǎn)為C．

(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M（m，-2）是否在該拋物線上?請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)求證:△ABC是等腰直角三角形；
(3)已知點(diǎn)D在x軸上，那么在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）假如點(diǎn)M（m，-2）在該拋物線上，則-2=m²-4m+3,
m²-4m+5=0,由于△=（-4）²-4×1×5=-4＜0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
所以點(diǎn)M（m，-2）不會(huì)在該拋物線上；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，x²-4x+3=0,x₁=1,x₂=3,由于點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，∴A(1,0),B(3,0)
y= x²-4x+3=(x-2)²-1,∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，-1），
由勾股定理得，AC=,BC=,AB=2，
∵AC²+BC²=AB², ∴△ABC是等腰直角三角形；
(3)存在這樣的點(diǎn)P.
根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，因此連接點(diǎn)P與點(diǎn)C的線段應(yīng)被x軸平分，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1，
∵點(diǎn)P在拋物線y= x²-4x+3上，∴當(dāng)y=1時(shí)，即x²-4x+3=1，解得x₁=2-,x₂=2+,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2-，1）或（2+，1）.

解析