Question

已知直線y=

4

3

x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊作菱形ABCD，使點(diǎn)C落在第一象限內(nèi)，點(diǎn)D落在x軸上，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．
（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)PE=2，EF=4，求PB的長(zhǎng)；
（3）是否存在某一點(diǎn)F，使得以B、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)菱形的四條邊都相等可得BC=AB，再寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（2）求出△BCP和△FAP相似，△BCE和△FDE相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，消掉DF得到關(guān)于PB的方程，求解即可；
（3）分OF和OA是對(duì)應(yīng)邊，OF和OB是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OF的長(zhǎng)，然后寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）令y=0，則

4

3

x+4=0，解得x=-3，
令x=0，則y=4，
∴點(diǎn)A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∴點(diǎn)C（5，4）；

（2）∵BC∥AF，
∴△BCP∽△FAP，
∴

PB

PF

=

BC

AF

，
即

PB

2+4

=

5

5+DF

①，
∵BC∥AF，
∴△BCE∽△FDE，
∴

BE

FE

=

BC

DF

，
即

PB+2

4

=

5

DF

②，
聯(lián)立①②解得PB=2

3

；

（3）①OF和OA是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△FOB∽△AOB，
∴

OF

OA

=

OB

OB

，
即

OF

3

=

4

4

，
解得OF=3，
此時(shí)，點(diǎn)F（3，0），
②OF和OB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△BOF∽△AOB，
∴

OF

OB

=

OB

OA

，
即

OF

4

=

4

3

，
解得OF=

16

3

，
此時(shí)，點(diǎn)F（

16

3

，0），
綜上所述，（3，0），（

16

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（2）關(guān)鍵在于根據(jù)兩個(gè)比例式得到關(guān)于PB的方程，（3）難點(diǎn)在于要分情況討論．