Question

如圖③，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點A(-3，0)，點B(1.0)，交y軸于點E(0，-3). 點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行.直線y=-x+m過點C，交y軸于點D.    
 (1)求拋物線的函數(shù)表達式；  
  (2)點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；   
 (3)在直線l上取點M，在拋物線上取點N，便以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標.

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=a（x-1）(x+3)，   
 ∵拋物線與y軸交于點E(0,-3),將該點坐標代人上式，得：a=1，
∴所求函數(shù)表達式y(tǒng)=(x-1)(x+3)，即 y=x²+ 2x- 3;
(2)∵點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點A(-3，0)，點B(1，0)，    
∴點C的坐標是C(5，0).   將點C的坐標是C(5，0)代入y=-x+m，得m=5   
 ∴直線CD的函數(shù)表達式為y=-x十5，
設(shè)K點的坐標為( t, 0),則H點的坐標為.(t，-t+5)，G點的坐標為 (t，t²+2t-3).     
∵點K為線段AB上一動點.
∴-3≤t≤1
∴HG= (-t+ 5)-(t²+ 2t-3)=-t²-3t+8=-（t+）²+
∵-3≤-≤1，∴當t=-時，線段HG長度有最大值
(3)∵點F是線段BC的中點，點B(1，0)，點C(5，0)，
∴點F的坐標為F(3，0).
∵直線l過點F且與y軸平行，
∴直線l的函數(shù)表達式為x=3
∵點M在直線l上，點N在拋物線上，
∴設(shè)點M的坐標為M(3，m). 點N的坐標為N(n,n²+2n-3)
∵點A（-3,0），點C（5,0），
∴AC=8；
 ①若線段AC是以點A，C，M，N為頂點的四邊形的邊，
則須MN//AC，且MN=AC=8
當點N在點M的左側(cè)時，MN=3-n，
∴3-n=8，解得：n=-5，
∴N點的坐標為N(-5，12).
當點N在點M的左側(cè)時，MN=n-3
∴n-3=8，解得：n= 11，
∴N點的坐標為，N(11，140).
②若線段AC是以點A，C，M，N為頂點的平行四邊形的對角線，
由“點C與點A關(guān)于點B中心對稱”知：點M與點N關(guān)于點B中心對稱，
取點F關(guān)于點B對稱點P，則點P的坐標為P(-1，0). 過點P作NP⊥x釉，交拋物線于點N
將 x=-1代入y=x²+2x-3，得：y=-4，
過點N，B作直線NB交直線l于點M
在△BPN和△BFM中
∵
∴△BPN≌△BFM，
∴NB = MB，   
 ∴四邊形ANCM為平行四邊形，
∴坐標為(-1，-4)的點N符合條件，
∴當點N的坐標為(-5，12)，(11，140)，(1，4)時，以點 A，C，M，N為頂點的四邊是平行四邊形。