Question

已知拋物線(xiàn)：y1=-

1

2

x2+2x
（1）求拋物線(xiàn)y₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）將拋物線(xiàn)y₁向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)y₂，求拋物線(xiàn)y₂的解析式．
（3）如圖，拋物線(xiàn)y₂的頂點(diǎn)為P，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，在y₁、y₂這兩條拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、P、M、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)P為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用配方法求出拋物線(xiàn)y₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）直接利用二次函數(shù)平移的規(guī)律，左加右減，上加下減，解答即可；
（3）假設(shè)符合條件的N點(diǎn)存在，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等，找出點(diǎn)N到x軸的距離，即拋物線(xiàn)的縱坐標(biāo)，代入解析式，解方程解決問(wèn)題．

解答：解：（1）依題意把拋物線(xiàn)：
y₁=-

1

2

x²+2x
=-

1

2

（x²-4x）
=-

1

2

[（x-2）²-4]
=-

1

2

（x-2）²+2，
故拋物線(xiàn)y₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，2）；

（2）∵拋物線(xiàn)y₁向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)₂=-

1

2

（x-4）²+3，
整理得y₂=-

1

2

x²+4x-5；

（3）符合條件的N點(diǎn)存在．
如圖：作PA⊥x軸于點(diǎn)A，NB⊥x軸于點(diǎn)B，
∴∠PAO=∠MBN=90°，
若四邊形OPMN為符合條件的平行四邊形，則OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，
在△POA和△NMB中

∠PAO=∠NBM ∠AOP=∠BMN OP=MN

∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3），
∴NB=PA=3，
∵點(diǎn)N在拋物線(xiàn)y₁、y₂上，且P點(diǎn)為y₁、y₂的最高點(diǎn)
∴符合條件的N點(diǎn)只能在x軸下方，
①點(diǎn)N在拋物線(xiàn)y₁上，則有：-

1

2

x²+2x=-3
解得：x₁=2-

10

，x₂=2+

10

，
②點(diǎn)N在拋物線(xiàn)y₂上，則有：-

1

2

（x-4）²+3=-3
解得：x₃=4-2

3

或x₄=4+2

3

故符合條件的N點(diǎn)有四個(gè)：N₁（2-

10

，-3），N₂（4-2

3

，-3），N₃（2+

10

，-3），N₄（4+2

3

，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用平移的規(guī)律求二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式，利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解決問(wèn)題．