Question

施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米，現(xiàn)在O點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）．
（1）直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；
（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”ABCD，使A、D點(diǎn)在拋物線上，B、C點(diǎn)在地面OM上．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．

Answer 1

分析：確定了拋物線的頂點(diǎn)式，可以設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，又過原點(diǎn)（0，0），就可以確定拋物線解析式；設(shè)OB=x，由對(duì)稱性得CM=x，這樣就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，為求三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值，提供依據(jù)．

解答：解：（1）M（12，0），P（6，6）

（2）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)（6，6）
∴設(shè)y=a（x-6）²+6（a≠0）
又∵圖象經(jīng)過（0，0）
∴0=a（0-6）²+6
∴a=-

1

6

∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=-

1

6

（x-6）²+6，即y=-

1

6

x²+2x；

（3）設(shè)A（x，y）
∴A（x，-

1

6

（x-6）²+6）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC=-

1

6

（x-6）²+6，
根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12-2x，即AD=12-2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[-

1

6

（x-6）²+6]+12-2x=-

1

3

x²+2x+12=-

1

3

（x-3）²+15．
∴當(dāng)x=3，L最大值為15
∴AB、AD、DC的長度之和最大值為15米．

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于拋物線解析式的求法，還可以設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=ax（x-12），把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求a；要弄清楚線段長度與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系．