Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)．P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，△PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是△PDQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）t為何值時(shí)，四邊形PQBA是梯形；
（3）是否存在時(shí)刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻t，使得PD⊥AB？若存在，請(qǐng)估計(jì)t的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，請(qǐng)簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：四邊形PCQD的面積等于△PCQ的面積的2倍，因此本題只需計(jì)算三角形PCQ的面積即可．可用t表示出PC和QB的長，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出三角形PCQ的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求出y，t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果四邊形PQBA是梯形，那么只有一種情況，即PQ∥AB，可根據(jù)這兩條平行線得出的關(guān)于CP，CA，CQ，CB的比例關(guān)系式求出此時(shí)t的值；
（3）可通過構(gòu)建相似三角形來求解．延長PD交BC于M，通過相似三角形QMD和三角形ABC得出的關(guān)于OD，QM，AC，AB的比例關(guān)系式，可得出QM的表達(dá)式，然后根據(jù)PD∥AB得出的關(guān)于CP，CA，CM，CB的比例關(guān)系式求出t的值．
（4）可延長PD交AB于H，過Q作QR⊥AB于R．在直角三角形ARH中，AP=3t，因此AH=

9

5

t，而HR=DQ=CQ=4t，在直角三角形BQR中，BQ=16-4t，因此BR=

4(16-4t)

5

．由于AB=20．因此

9

5

t+4t+

4(16-4t)

5

=20，解得t=

36

13

．因此存在時(shí)刻t使得PD⊥AB．

解答：解：（1）由題意知CQ=4t，PC=12-3t，
∴S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=-6t²+24t．
∵△PCQ與△PDQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t．

（2）當(dāng)

CP

CA

=

CQ

CB

時(shí)，有PQ∥AB，而AP與BQ不平行，這時(shí)四邊形PQBA是梯形，
∵CA=12，CB=16，CQ=4t，CP=12-3t，
∴

12-3t

12

=

4t

16

，
解得t=2．
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，四邊形PQBA是梯形．

（3）設(shè)存在時(shí)刻t，使得PD∥AB，延長PD交BC于點(diǎn)M，如圖，
若PD∥AB，則∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽R(shí)t△ABC，
從而

QM

AB

=

QD

AC

，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=

122+162

=20，
∴QM=

20

3

t．
若PD∥AB，則

CP

CA

=

CM

CB

，
得

12-3t

12

=

4t+ 20 3 t

16

，
解得t=

12

11

．
∴當(dāng)t=

12

11

秒時(shí)，PD∥AB．

（4）存在時(shí)刻t，使得PD⊥AB．
時(shí)間段為：2＜t≤3．
延長PD交AB于H，過Q作QR⊥AB于R．在直角三角形APH中，
∵AP=3t，
∴AH=

9

5

t，而HR=DQ=CQ=4t，
在直角三角形BQR中，
∵BQ=16-4t，
∴BR=

4(16-4t)

5

．
∵AB=20．
∴

9

5

t+4t+

4(16-4t)

5

=20，解得t=

36

13

．
∴存在時(shí)刻t使得PD⊥AB．

點(diǎn)評(píng)：[點(diǎn)評(píng)]本題是一道動(dòng)態(tài)幾何題，綜合性較強(qiáng)，區(qū)分度較大，有一定的難度．
【命題意圖】最后總是函數(shù)的應(yīng)用，去年是一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用以及分類討論，其實(shí)對(duì)初中而言，一次函數(shù)和二次函數(shù)的重要性是一樣的，關(guān)鍵是函數(shù)思想的確立，函數(shù)模型的建立．本題考查求解二次函數(shù)關(guān)系式、并利用關(guān)系式求值的運(yùn)算技能和從情景中提取信息、解釋信息、解決問題的能力，同時(shí)考查的數(shù)學(xué)思想主要是數(shù)學(xué)建模思想．本題在呈現(xiàn)方式上做出了創(chuàng)新，試題貼近社會(huì)經(jīng)濟(jì)的盈虧問題，賦予了生活氣息，使學(xué)生真切地感受到“數(shù)學(xué)來源于生活”，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的“有用性”．這樣設(shè)計(jì)體現(xiàn)了《新課程標(biāo)準(zhǔn)》的“問題情景-建立模型-解釋、應(yīng)用和拓展”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式．