Question

已知：∠C=Rt∠，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c，且a：b=3：4，a+b=c+4．
（1）求a、b、c 的值；
（2）已知AB上有一點E，并以BE為直徑畫圓，并且這個圓與AC相切于D點，求該圓的半徑．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據a：b=3：4，設a=3k，b=4k．根據勾股定理，得c=5k；再根據a+b=c+4，求得k的值，從而求得a，b，c的長；
（2）根據題意畫出圖形，設該圓的半徑為r，連接OD，由切線的性質可知OD⊥AC，故可得出OD∥BC，所以△AOD∽△ABC，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得出r的值．

解答：解：（1）∵a：b=3：4，
∴設a=3k，則b=4k．
∴c=

a2+b2

=

(3k)2+(4k)2

=5k，
又∵a+b=c+4，
∴3k+4k=5k+4，解得k=2．
∴a=6，b=8，c=10；

（2）如圖所示：設該圓的半徑為r，連接OD，
∵點D是AC與⊙O的切點，
∴OD⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴

OA

AB

=

OD

BC

，

10-r

10

=

r

6

，解得r=

15

4

．

點評：本題考查的是圓的綜合題，根據題意畫出圖形，利用相似三角形的性質求解是解答此題的關鍵．