Question

．（13分）已知拋物線y＝ax 2＋bx＋c經(jīng)過O（0，0），A（4，0），B（3，）三點(diǎn)，連接AB，過點(diǎn)B作BC∥軸交拋物線于點(diǎn)C．動點(diǎn)E、F分別從O、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)E沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向A點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)F沿折線A→B→C以每秒1個單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為t（秒）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）記△EFA的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值，指出此時(shí)△EFA的形狀；
（3）是否存在這樣的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此時(shí)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

見解析

解析
（1）根據(jù)題意得
       解得：
                 ------------4分
（2）過點(diǎn)B作BM⊥x軸于M，
則BM=,OM=3,∵OM=4,∴AM=1
AB=
∵∴∠BAM=60°
當(dāng)0<t《2時(shí)，AF=t,過點(diǎn)F作FH⊥x軸，
∵FN=Afsin60°=,

當(dāng)2<t《4時(shí)，如圖，

當(dāng)0<t《2時(shí)，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)2<t《4時(shí),s<
∴當(dāng)x=2時(shí)，
,此時(shí)AE=AF=2又∵∠EAF=60°. ∴△AEF為等邊三角形. -----------10分
(3)當(dāng)0≤t≤2時(shí)，
若∠EFA=90°,此時(shí)∠FEA=30°, ∴EA=2AF，4-t="2t," ∴.此時(shí)E
當(dāng)∠FEA=90°時(shí)，此時(shí)∠EFA=30°, ∴2EA=AF，∴t=2(4-t)
∴>2, ∴這種情況不存在。
當(dāng)2<t《4時(shí)，有t-2+t=3
∴t=2.5
E(2.5,0),   F(2.5,).   ------------13分